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[BEST] 늦은, 그래서 조금 부끄럽지만 정성 다한 후기

박윤영 4 7,971 2016-08-28 01:53

   

안녕하세요 해석학 강의 수강 완료한지 꽤 지났는데 이제서야 후기를 올립니다.

며칠 뒤면 9월이고 임용시험이 100일도 남지 않은 이 시점에 올리게 되어 참고가 될런지 모르겠으나

제가 받은 강의에 대한 나름의 분석과 후기를 정성들여 남기고자 합니다. (늦은 만큼)


먼저 여러분들이 듣고자 고민하는 해석학 강의에서 어떤 내용을 다루는지 어떻게 다루는지 그로 인해 수강을 하면 어떤 점이 좋은지에 대한 저의 생각을 올리겠습니다.


해석학은 방대하고 어려운 내용이 다소 들어가있는 한편 고등학교 수학과 연관되어 있어 도전해봄직한 과목이라는 평이 있죠

강의수도 꽤많아서 굵은 맥락을 알고 수강하시면 도움이 될 것 같습니다.


하이어에듀 해석학은 대단원 6개로 이루어져있어요.

1. 실수의 성질과 수열의 극한/ 2. 좌표 공간의 위상적 성질/ 3. 연속/ 4. 미분/ 5. 적분/ 6. 함수열


전반적으로 보았을 때, 1&2는 3,4,5를 공부하기 위한 기초운동 같은 느낌이고 3,4,5를 잘 다룰 수 있음을 보여주는 것이 6인 것 같은 느낌이에요.


이제 각 단원에 포함된 내용과 전개 방식에 대한 평을 나눠볼까 합니다.

1. 실수의 성질과 수열의 극한

본질적 개념인 순서구조, 상계하계, inf&sup, 완비성 부터 정확하게 설명하면서 연계성있게 학습합니다.

후에 수열의 수렴, 단조 증가&단조 감소에 대한 정의로 부터 축소구간 정리까지 연결 짓구요

실수의 완비성, 유계 단조 수열의 수렴성, 축소구간 정리가 동치관계임을 보여주면서 마무리 되죠.

이게 무슨 느낌이냐면, 난생 첨으로 월남쌈 요리를 먹게 되었는데 라이스 페이퍼, 따뜻한 물, 당근, 고기 각종 야채 들을 보고 각각을 따로 먹다가 어떻게 먹는건지 배운 느낌이랄까요,


물론 대학에서도 이 흐름대로 가르치긴 했지만, 이 강의에서는 중간중간 설명이 적절하고 뒤에 총정리 된 그림을 보여주며 이해도를 높여주는 강의였습니다. 만족스러워요.

곁들어 셀 수 있는 집합셀 수 없는 집합(칸토를 집합)을 소개하죠. 사실 이 부분은 뒤에 연계되기 때문에 등장하는 건데 2단원까지는 왜 배운건지 알 수 없었는데 복습하면서 느꼈습니다. 불연속함수의 적분가능성에 대한 이야기에서 등장합니다.


2. 좌표 공간의 위상적 성질

저는 위상수학이 더 어려운 편이라 먼저 수강하였기 때문에 이 단원은 위상을 Review하는 기분으로 수강하였습니다. 특히, 위상에서 처음배울 때 헷갈렸던 극점, 고립점, 조밀하다의 개념을 다시 실수 버젼으로 확인해 볼 수 있었어요. 또, 수열을 이용하여 집합을 열린집합, 닫힌집합 판별하는 것도 신선하게 느껴졌어요. (정리 2.2.3-기하학 Sketch Idea)

Bolzano-Wierstrass(유계이고 무한이면 극한점을 가진다),

유계수열은 항상 수렴하는 부분수열을 가진다. (이 강의에서는 이것은 BW정리라고 안함)

유계이며 코시인 수열은 수렴한다

는 세가지의 주요 정리와 증명을 마친 후에

실수의 완비성 =>실수의 축소구간 정리=>유클리드공간의 축소구간 정리=>BW 정리=>유계이면 수렴하는 부분수열을 갖는다=>유클리드 공간의 코시수열의 수렴성=>실수의 완비성

이라는 동치관계를 알려주죠. 이 때 이 강의 듣길 잘했다는 생각을 또 했습니다. 어디서도 듣지 못한 해석이었고 관점이었습니다. 임용 범위에 속하는 내용은 아니기때문에 어느 누구도 굳이 정리하지 않는 부분인 것 같기도 하여서 더 좋았습니다. 이왕하는 공부, 깊이 공부할 수 있으면 지식 확장을 체험해보는 것이 즐거우니까요. 이런 점은 다른 임용 강의에서 느낄 수 없는 하이어에듀 만의 강점인 것 같습니다.

위 내용이 대략 정리된 후 무한급수에 초점을 맞춥니다. 7가지의 수렴 판정법(코시판정법/ n th term 일반항 판정법/ 교대급수 판정법/ 비교 판정법/ 멱근 판정법/ 비율 판정법/ 적분 판정법), 멱급수의 수렴반경에 대한 해석은 특별할 것은 없습니다. 다만 각 수렴판정에 관련된 기출문제와 적절한 해석은 매우 좋습니다. 이 단원에서 다른 강의와 구별되는 특별한 점은 수열의 극한 계산이라는 부분인데, 스털링 공식을 증명 없이 사용하여 5가지의 특수한 수열의 극한의 값을 논리적으로 보여줍니다.

2단원의 마지막 부분에 옹골집합과 연결집합에 대한 강의가 진행되는데 다소 쌩뚱맞다고 생각하였으나 뒤의 연속함수의 성질을 설명할 때 요긴하게 사용됩니다. 즉, 강의마다 흐름과 연계성이 분명하여 그 흐름을 생각하면서 학습하게 되면 이해와 활용이 수월해집니다.


3. 연속함수의 성질

본격적인 내용이 시작된다고 볼 수 있는데 이것 또한 굵은 흐름을 알고 학습하면 좋습니다.

1) 정의/ 2) 성질/ 3) 고른연속

1) 정의에서는 함수를 정의하는 4가지 방법을 소개합니다. 일일이 쓰는 것보다 제가 후기를 작성하기 위해 총체적으로 정리한 것을 그림파일로 첨부할게요 ^^


4. 미분가능한 함수의 성질

1) 미분가능성 정의/ 2) 평균값 정리/ 3) 테일러 정리

2) 평균값 정리에서 코시 정리를 함께 소개하여 로피탈 정리와 같은 다른 주요 정리를 발전해가는 것을 보여줍니다. (대박)

구간을 구간으로 보내는 함수의 특수화가 원시함수를 가지는 함수, 그 원시함수를 가지는 함수의 특수화가 연속함수

반대로 말하면 연속함수의 일반화가 원시함수를 가지는 함수, 원시함수를 가지는 함수의 일반화가 구간을 구간으로 보내는 함수 라는 관점을 갖게 해줍니다.

3) 테일러 정리의 연장선으로 초등초월함수를 접해보게 됩니다. 이것도 임용 포함 내용이 아니지만 복소해석과 실해석의 연결고리(?)를 맛 볼 수 있어 흥미롭습니다.


5. 리만 스틸체스 적분

1) 리만적분/ 2) 리만적분가능함수의 특징/ 3) 미적분학 기본정리/ 4) 특이적분/ 5) 리만 스틸체스 적분가능

리만적분의 정의 후에 리만적분가능함수의 특징을 먼저 가장 간단한 유계이고 연속인 함수라는 것에서 출발하여 하나씩 일반화시켜갑니다. 불연속인 점이 유한개인 경우에서 부터 Contor set에서 불연속인 경우까지 살펴봅니다. (이 과정이 참 재밌었습니다.)

일반적으로 학습하는 리만적분가능함수의 특징을 살펴본 뒤 미적분학의 기본정리를 학습합니다. 미적분학의 기본정리가 이야기하는 것이 조금씩 확장되어 리만적분 가능한 함수는 연속함수와, 연속인 함수는 미분가능한 함수의 부정적분을 갖게 된다는 관찰도 매우 흥미로웠습니다. 후에 치환적분과 부분적분을 간단히 학습하고 특이적분을 학습합니다.

5)리만스틸체스 적분은 다소 복잡하긴 하지만 설명을 듣고 뒤로 넘어가서 반복해서 정리에 적용되는 것을 관찰하면 그 정의가 가지는 특징을 잘 이해할 수 있습니다.



6. 함수열

1) 연속 함수열/ 2) 미분가능 함수열/ 3) 적분가능 함수열/ 4) 고른 수렴 판정법

위 네가지 흐름에 옹골집합, 연속성, 미분가능, 적분가능의 모든 개념을 포함하여 학습하므로 다소 어렵기도하지만 그만큼 성취감도 큰, 혹은 이런 강의를 통해 학습해서 다행이라는 생각이 드는 단원입니다.

점별수렴과 고른수렴의 정의를 비교하고 고른수렴 판정법으로 코시수열 판정법, 바이어슈트라스 판정법을 소개합니다.

2)에서 미분가능함수열의 main theorem과 corollary를 소개하고 멱급수 미분으로 넘어가는데 2)에서 배운 멱급수 수렴반경의 용어로 설명하여 멱급수가 미분가능하기 위한 조건을 학습합니다.

3)도 2)와 유사하게 함수열이 적분가능하기 위한 조건을 학습합니다.

4)에서는 먼저 1)에서 사용했던 코시수열 판정법과 바이어슈트라스 판정법과는 적용 대상이 다른, 즉, 멱급수 형태의, 즉 부분합 형태의 고른수렴 함수 2개의 곱이 여전히 고른수렴이되는가 하는 질문을 던지고 답을 알려줍니다.



하이어에듀 해석학의 특징은 주제 관련한 관찰을 먼저 하고 내용을 전개함으로써 해석학의 주요 개념과 내용을 그냥 받아들이는 것이 아니라 어떤 고민에서 출발한 것인지를 생각하면서 학습하기 때문에 논리적인 사고를 전개할 수 있습니다. 사실 처음 이 강의를 1강부터 끝까지 수강하는 것에서는 흥미를 느끼기 어렵습니다. 학습 방법에 대하여 먼저 익히셔야 학습 내용에 대한 생각을 할 수 있으니까요.

그래서 저는 2회차 듣고 마지막으로 강의책과 필기를 보면서 총정리할 때 학습흐름이 수월하게 느껴졌습니다.

위에 설명한 내용들이 전부 이 강의의 특징이자 장점입니다. 다른 임용수학 강의와 다르게 해석학 전반에 내용을 수학적 흐름에 맞추어 설명하고 있다는 점. 내용와 관련된 기출문제를 적절하게 풀이해준다는 점. 혼자서 생각해내기 힘든 개념간의 흐름, 혹은 연계성을 학습할 수 있다는 점.

이 강의의 단점은 시간이 많이 필요합니다. 사실 이것은 단점이라기 보단, 어느 학습에도 적용되는 보통 특징인 것 같습니다. 잘하기위해선 많은 시행과 노력으로 실패요인을 줄여나가셔야 합니다. 그것처럼 해석학에 대한 이해도를 완성시키기 위해서는 많이 생각하고 많이 접해봐야합니다. 제가 이 강의를 적극 추천하지만 수강하고 이해하고자 열심을 다하지 않으면 소용이 없습니다. 또 한편으로는 임용수학만을 위한 강의가 아니기 때문에 급박한 시험을 대비하는 사람들에게는 추천하기 어렵습니다. 때마침 9월이니 9,10월에 이 한과목을 마스터하는 것만 남은 사람이거나 3,4학년 학부생에게는 적극 추천합니다.


정성을 다해 쓰고 싶어서 책을 정리하며 노트에 간략히 적어갔는데 도움이 되셨길 바랍니다.

노트 파일을 5장 올리고싶었으나 3장의 제한이 있어 단 3장만 올리도록 할게요^^


모두 남은 기간 끝까지 화이팅 합시다!! 할수있다!

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구준모
16-08-28 15:01  
박윤영 회원님 안녕하세요. 정성스러운 후기 남겨주셔서 정말 감사합니다. 다른 사람들을 위해 자신의 귀한 시간을 들여가며 이렇게 진심을 담은 글을 쓰기가 참 쉽지 않은데, 박 회원님은 마음이 참 선한 분 같습니다. 박 회원님의 후기글은 제 강의에 대해 좀 더 자세히 알고싶은 분들께 아주 소중한 참고가 될 것 같습니다.

개인적으로 박 회원님이 남겨주신 후기를 보면서 박 회원님이 제 강의를 자신만의 언어로 소화하고 흡수하신 게 느껴졌습니다. 제 강의를 들어도 그것을 자신만의 언어로 담아내지 못한다면, 그것은 길가다 노래 한소절 듣는 것과 다르지 않을 것입니다. 수학은 반드시 자신이 깊이 음미하고 생각하는 과정이 있어야 온전히 자기 것이 될 수 있기 때문이지요. 박 회원님은 제 강의를 듣고 충분한 사색을 통해 해석학의 높은 수준까지 도달하신 것 같아서 마음이 참 기쁩니다.

6월, 7월에 해석학의 몇몇 보충 강의들을 새로 제작하여 업로드했는데, 들으셨는지 궁금합니다. 아직 안들으셨다면 학원 측에 문의해서 꼭 들으시구요, 이제 대수 들으실 차례인가요?

시험 날짜가 많이 안남았는데, 대수가 양이 많아서 다 듣지 못하고 시험치시면 어떡하나..  제가 참 마음이 조마조마합니다. 제 대수 강의를 다 듣고 시험을 치르는 것과 안듣고 시험치르는 것은 분명히 큰 차이가 있을테니, 남은 기간 힘내셔서 꼭 대수 강의도 완강하신 후에 시험 치르셨으면 좋겠습니다. (올해 무더웠던 여름도 이제 다 지나가고 시원한 가을이 찾아왔으니, 수학 공부하기에도 좋은 계절이잖아요^^)

(ps: 다음 과목 후기 작성하실 즈음에는, 시험이 얼마 남지 않아 마음이 바쁠테니 간략히 남겨주시거나 아니면 시험 무사히 잘 치르시고 나중에 남겨주셔도 됩니다. 후기에 너무 부담갖지 마세요^^)
하이어에듀
16-08-28 23:33  
소중한 후기 감사합니다.^^ 파일 업로드 최대 개수는 기존의 3개에서 5개로 수정하였으니, 나머지 2개도 올리고 싶으시면 추가로 올려주셔도 됩니다.^^
박윤영
16-09-02 09:17  
앗, 정말 감사합니다. 누추하고 지금 읽어보니 이상한 표현도 많은 것 같은데 여유롭지 않은 마음때문에 수정과 파일첨부는 뒤로 좀 미뤄둘게요 ㅎㅎㅜㅜ 항상 좋게 말씀해주시고 도와주셔서 감사합니다. 좋은 결과를 만들어보도록 노력하겠지만 점점 자신은 없어지네요 ㅎㅎㅎ 그렇지만 그래도 최선을 다해볼게요.. 좋은 하루 되세요!
구준모
16-09-03 16:43  
지난 번 리우 올림픽 펜싱 경기에서, 큰 점수차로 뒤지고 있던 박성영 선수가 휴식시간에  '할수 있다, 할수 있다' 는 말로 스스로를 격려하며 용기를 내어 결국 역전에 성공한 것 처럼 자기 자신을 믿고 최선을 다하면 꼭 좋은 결과가 있을겁니다. 주변에서 하는 말과 현재 상황에 너무 위축되지 마시고 자기 안에 감춰진 큰 잠재력을 믿으면서 앞으로 나아가시길 바랍니다.


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