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35강 정리 35.2 07:44

김지훈

2019-02-09 17:33

안녕하세요 구준모 선생님

Z[√3] 이라는 수는 유클리드 정역임을 문제 33.5에서 증명했습니다,

그럼 관찰33.7에 의해 Z[√3] 은 PID가 될 것입니다.

또한 정리 35.2에 의해 Z[√3] 은 UFD가 될 것입니다.

하지만 Z[√3]에 속하는 원소 6을 생각해보면 6=2×3=(3+√3)(3-√3) 이 되서

만약 Z[√3]이 UFD라고 가정하면 2~3+√3 OR 2~3-√3 이 되야 하는데 이것은 성립하지 않으므로

Z[√3]은 UFD가 되지 않는데 제가 어디서 오류가 났는지 궁금합니다.

감사합니다.

양영완

19-02-09 19:33

좋은 질문이네요 ㅎㅎㅎ
Z[√3]은 ED이므로 PID이고 그래서 UFD가 맞습니다.

그런데 문제가 일어난 이유는 2와 3+√3, 3-√3이 Z[√3]에서 irr elt가 아니기 때문입니다.
2=3-1=(1+√3)(-1+√3), 3+√3=√3(1+√3), 3-√3=√3(-1+√3)이기 때문이지요.
따라서 2~3+√3 OR 2~3-√3이라고 말할 수 없습니다.
왜냐면 UFD에서 이렇게 associate 관계가 일어나는 것은 irr elt일 때 일어나는 것이기 때문이지요.

김지훈

19-02-09 19:46

와 이걸 이렇게 생각할 수 있군요
오늘도 많은 도움 얻고 갑니다. 감사합니다.^^