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미적분학 보충1 질문입니다.

이주근 6 23 2019-02-10 02:50

12분 10초즈음에 D_vf(p)를 기하적으로 보여주신다고하시고 접선의 기울기가 D_vf(p)라고 하셨는데 D_vf(p)= lim f(p+tv)-f(p)/t라고 정의 되어있습니당... 평균(혹은 접선)의 기울기란 것은 정의역에서의 변화율에 대한 함숫값의 변화율인데 그럼 분모에 t가 정의역의 변화율을 나타낸다는 것인데 t가 어째서 변화율을 나타낼 수 있는지 궁금합니다ㅠ

혹시 방향만 알면 되는 것이기에 v를 단위벡터로 놓고 변화율을 두 점사이의 거리로 둔다면 t가 되어서 그런 것인가요?

만약 그렇다면 정의에서 분모는 절댓값 t가 되어야할 것같은데.. ㅠㅠㅠ

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양영완
19-02-10 17:34  
미분계수란, 쉽게 말해 기울기의 극한을 의미합니다.
여기서 기울기가 바로 평균변화율을 의미하는데요, 이것은 (y증가량)/(x증가량)으로 정의됩니다.
(이런 내용에 대한 설명은 고등학교 교과서를 찾아보는 것이 좀 더 좋을 겁니다. ^^)

즉 분모에 있는 t는 정의역에서의 변화'량'을 의미합니다. 변화율을 의미하는 것이 아니지요.
이주근
19-02-10 18:22  
아; 말을 잘못적었네용. 미분계수란 기울의의 극한을 말하는 것은 잘 알고있는 부분인데용..ㅠ 정의역의 변화량이 t인 이유가 뭘까요?,.. 굳이 변화량이라고 하면 ltvl가 되어야 할 것같은데용... 방향만 알면되니까 v를 unit vector로 둔 것일까용?
양영완
19-02-10 19:24  
|tv|=|t||v|이고 |v|는 상수이니 딱히 따로 신경써서 정의할 필요가 없습니다.
lim |f(p+tv)-f(p)/tv| = lim |f(p+tv)-f(p)|/(|t||v|) = |D_v f(p)|/|v|이니까요.

이런 측면에서 일부 미적분학 책에서는 v를 단위벡터(unit vector)로 제한을 둔 상태로 D_v f(p)를 정의하기도 합니다.
이 정의를 따르는 책에서는 벡터를 일단 크기로 나눠서 단위벡터로 만든 후에 방향도함수를 구하지요.
그렇지만 어차피 위에서 보였듯 v의 크기는 상수이기 때문에 분자, 분모를 적당히 곱해버리면 해결되는 문제이니 신경쓰지 않아도 됩니다.
즉, 방향도함수에서 v는 방향만 신경쓰면 될 뿐 크기는 신경쓸 필요가 없다는 것입니다.
이주근
19-02-10 20:56  
그렇다면 분모에 ltl라고 쓰지 않는 이유는 t는 0과 1사이에있는 양수이기 떄문에 절댓값을 씌우는 것이군용! 이부분은 완전히 이해 되었습니다! 감사합니다
양영완
19-02-10 21:03  
두개를 같이 질문하시다 보니 헷갈리신 모양인데요...ㅋㅋㅋ
여기서의 t는 0과 1 사이의 임의의 수가 아니라 0으로 가까이 가는 수입니다. ^^
절댓값을 안씌운 상태로 정의가 완벽히 되기 때문에 씌운 걸 따로 생각할 필요가 없는 것입니다.
이주근
19-02-10 21:45  
감사해용!


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