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미적분학 3강 질문입니다.

이주근 10 70 2019-02-10 03:00

16분 40초 즈음에 참고부분의 ldefF'(p)l의 기하적 의미를 설명하실 때 정의역에 있는 검정색 영역의 함수값들이 빈틈없는 어떤 붉은 면이 되었잖아요? 머릿속으로는 그려지는데 이것을 수식으로도 표현 가능할까여?

즉 검정색 영역에 들어가는 임의의 점 p+t_1v_1+t_2v_2들의 함숫값이 그 붉은 영역안에 다 들어가고 가득 채움을 수식으로 어떻게 보일 수 있을까요? 아 물론 빨간색 영역은 정의역에 대응되는 값들을 넣은 값이라서 가득채우고 다들어가는.것은 당연하긴하졍...그런데 직관적인 것 말고 붉은 색 빽빽한 면이 나오는 것을 수식적으로 어떻게 니타낼 수 있을지가 궁금해용

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양영완
19-02-10 17:55  
일단 이것은 당연한 것은 아닙니다. 다변수함수가 미분가능하기 때문에 일어나는 일이죠.
미분가능하지 않도록 그래프의 형태가 첨점 같은 것을 포함한다면 이런 것이 불가능합니다.

그러면 미분가능할 때 이것을 어떻게 수식으로 표현하는가, 그것은 강의에서 이미 설명하셨습니다.
바로 F(p+t_1v_1+t_2v_2)~~F(p)+F'(p)(t_1v_1+t_2v_2)=F(p)+t_1F'(p)v_1+t_2F'(p)v_2 입니다.
여기서 0≤t_1, t_2≤1이라는 조건이 붙어있는데요.

여기서 t_1과 t_2 parameter들이 0과 1 사이를 독립적으로 지나다닐 때마다 찍히는 점들이 대응됨을 위 근사식이 보장합니다.
이주근
19-02-10 18:27  
F(p+t_1v_1+t_2v_2)~~F(p)+F'(p)(t_1v_1+t_2v_2)=F(p)+t_1F'(p)v_1+t_2F'(p)v_2 는 유사하게 생긴 평행사면형이 있다는 의미잖아용..??
"일단 이것은 당연한 것은 아닙니다. 다변수함수가 미분가능하기 때문에 일어나는 일이죠.
미분가능하지 않도록 그래프의 형태가 첨점 같은 것을 포함한다면 이런 것이 불가능합니다." 라고 하셨는데...각 성분함수들이 연속이기만 해도 빨간색 면적처럼 잘 나오는 것이 아닌 것인가요?ㅠ 왜 그런것이죵 ㅠㅠㅠ
양영완
19-02-10 19:54  
미분가능하지 않은데 |detF'(p)|를 생각한다는 것 자체가 nonsense이죠.
이것이 가능한 것이 F(p+t_1v_1+t_2v_2)~~F(p)+t_1F'(p)v_1+t_2F'(p)v_2인데 오른쪽 항을 생각할 수가 없지요.

그리고 이것이 평행사변형 전체를 대응시킨다는 것은 다음과 같이 볼 수 있는데요.
예를 들어 t_1=1/2, t_2=1/2라고 두겠습니다. 그러면 정의역 전체에서 한가운데 있는 점을 표시하지요.
그러면 이것을 위 식에 대입하면 F(p+(1/2)v_1+(1/2)v_2)~~F(p)+(1/2)F'(p)v_1+(1/2)F'(p)v_2가 됩니다.
즉 함숫값들 중 가운데쯤 있는 점이 평행사변형의 가운데쯤 있는 점과 대응된다는 것입니다.

이런 식으로 t_1과 t_2가 0과 1 사이를 독립적으로 마구 움직여다닐 수 있으니, 그때마다 위 근사식에 의해 점들이 대응되는 것입니다.
이주근
19-02-10 20:14  
매번 감사합니다.
이주근
19-02-10 20:42  
하나만 더 여쭤보겠습니당... F(p+t_1v_1+t_2v_2)~~F(p)+F'(p)(t_1v_1+t_2v_2)=F(p)+t_1F'(p)v_1+t_2F'(p)v_2 이라는 것이 정의역의 모든 함수값이 빨간색 평면안에 다 들어가고 가득채운다는 것을 확실히 보여주지는 못하는 것 같아용... 빨간색이 어떤 평행사변형과 거의 비슷하고,  임의의 t_1과 t_2에 대해 p+t_1v_1+t_2v_2의 함숫값이 평행사변형 안에 근접하거나 들어간다는 말을 말해주는 것아닌가 해서요... 계속 번거롭게 해드려 죄송해용 ㅠ
양영완
19-02-10 21:07  
정의역의 모든 값을 생각할 필요가 없습니다. 여기서는 p라는 점 근처의 아주 조그마한 직사각형 면적입니다.
그렇게 아주 조그마하게 볼 때 그래프가 미분가능하니까 이걸 곡면의 그래프로 보는 것보다 평행사변형에 근사시켜서 봐도 괜찮다는 뜻이고요,

그 평행사변형과 원래 직사각형의 비율이 바로 |detf'(p)|가 된다는 겁니다.
이주근
19-02-10 21:44  
감사합니당!
이주근
19-02-11 01:09  
계속 여쭤보네용!!! ㅠ
만약 (f(x_1,x_2, ...x_n), g(x_1,x_2, ...x_n)) 라는 R^n에서 R^2로가는 연속함수(즉 f와 g가 역속함수) 를 생각하면 (f(x_1,x_2, ...x_n), g(x_1,x_2, ...x_n)) 는 R^2에서 어떤 면이될것 같은데 수식으로 보일 수 있을까요??? 여쭙고싶던 것을 정리해서 올려봐용 ㅠ
더 나아가(f(x_1,x_2, ...x_n), g(x_1,x_2, ...x_n), h(x_1,x_2, ...x_n))은 R^3에서 어떠한 곡면이.될 것같은데 수식으로 나타낼 수 있을까요???
양영완
19-02-11 09:36  
글쎄, 솔직히 제가 보기엔 너무 과한 추상화인 듯 합니다.
일단 정의역의 차원을 n이라고 둘 때 n=2인 경우 곡선이, n=3인 경우 곡면이 그려집니다.
그리고 이것들이 어느 세계 위에 그려지는가를 공역이 결정하지만 공역은 무대일 뿐 그 도형에 영향을 주지 않습니다.

예를 들어 y=x^2이라는 식이 있다고 하면, 이는 F(x,y)=x^2-y이라는 다변수함수를 통해 나타낼 수 있습니다.
이 함수의 그래프를 2차원상에 그렸을 때의 곡선의 형태는 잘 알고 계실 겁니다.
그런데 z=0일 때 F(x,y,z)=x^2-y의 그래프 역시 똑같이 나타납니다. 다만 그려지는 공간이 3차원일 뿐이죠.
(여기서 z=0으로 제한시킨 이유는 이런 제한이 없으면 z의 범위가 실수 전체가 되어 z가 마음대로 왔다갔다 할 수 있기 때문에
그래프의 형태가 곡면으로 나타나기 때문입니다.)
이주근
19-02-11 09:54  
다변수 벡터함수에 대해서 여쭤본 것인데 스칼라함수로 답변을 해주셨네용 ㅠ
그래도 덕분에 이해는 하고넘어갑니당! 감사합니다. 이 질문에서만 3번째 감사합니다네용 ㅋㅋㅋㅋㅋ


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