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해석학 28강 질문입니다 ㅠㅠ

이주근 5 81 2019-04-03 21:06

1.

1시간 11분 10초즈음에 정리 28.4에서 U(f,P)-A≦ε,  L(f,P)-A≦-ε라고 하셨는데요, 그 이유는 U(f,P)와  L(f,P)가  R(f,P)의 상한과 하한이라서 그런 것인가요? 상한과 하한임은 보였는데 이유가 그것인지 궁금합니당.

2.

1시간28분 10초 즈음 2002년 기출문제 풀때용.. P가 P_0이면 0≦U(f,P)<ε임을 이용하면 ∑[j는 J의 원소]M_j(y_i-y_{i-1})<ε임을 알 수 있다고 했는데요... 전 도저히 왜그런지 생각이 안되요 ㅠㅠㅠㅠㅠㅠ왜그런거죵?...



3.

http://hiredu.co.kr/gnu/bbs/board.php?bo_table=lec_qna&wr_id=5652&sca=&sfl=wr_subject&stx=28%EA%B0%95&sop=and&sln=1에도 질문을 달았는데 부탁드리겠습니당 ㅠ


점점 벅차지네용 ㅠㅠ

0
양영완
19-04-04 00:28  
1. 28.4 (가)⇒(나) 증명 맞지요?
Lemma에 의해 ∀ε>0, ∃δ>0 s.t P∈P[a, b], |P|<δ ⇒ ∫_f - L(f, P)<ε, U(f, P) - ∫^- f <ε 입니다.
L(f, P)≤R(f, P)≤U(f, P)이고 (가)를 가정으로 놓았으므로 ∫_f = ∫^- f = ∫f = A 이지요.
따라서 A - L(f, P)<ε, U(f, P) - A <ε 가 됩니다. (질문의 서술이 조금 잘못된 것 같네요^^)

2. ∑[j∈J]M_j(y_i-y_{i-1}) - ∫[0~1]f <ε 말씀이시지요? ^^
∑[j∈J]M_j(y_i-y_{i-1})≤U(f, P)이니까(아무리 J를 키운다 한들 {1, ... , k}가 될테니 U(f, P)가 되겠죠?)
∑[j∈J]M_j(y_i-y_{i-1}) - ∫[0~1]f ≤ U(f, P) - ∫[0~1]f <ε 이지요.

3.은 수업 시간 외에 나온 질문에 대한 답변이니 저는 패스할게요 ^^;;;
이주근
19-04-04 00:47  
1.
 (다)⇒(가) 부분의.증명입니당 ㅠ 상세히 안써드려서 죄송합니다.
2.
∑[j∈J]M_j(y_i-y_{i-1}) - ∫[0~1]f ≤ U(f, P) - ∫[0~1]f <ε가 성립하기위해서는 P_k가 P_0를 포함하고 있다는 조건이 있어야 가능한 것 아닌가요?
3.
선생님께서 생각하시는 답만 부탁드릴게용 ㅠ
양영완
19-04-04 17:59  
1. 아 그부분이군요. 예상대로입니다.
R(f, P)<A+ε의 양변에 sup을 씌우면 U(f, P)≤A+ε가 되고,
R(f, P)>A-ε의 양변에 inf을 씌우면 L(f, P)≥A-ε가 됩니다.

2. 아니요, 그럴 필요는 없지요.
J라는 것은 {1, ..., k}에서 I={i|(y_(i-1), y_i)⊂[x_(s-1), x_s]}를 제외하고 남은 것입니다.
예를 들어 x_1<y_0<y_1<x_2<y_2<y_3<x_3<y_4라고 하겠습니다.
그러면 I={1, 3}, J={2, 4}입니다.
U(f, P) = M_1(y_1 - y_0) +  M_2(y_2 - y_1) + M_3(y_3 - y_2) + M_4(y_4 - y_3)이고
∑[j∈J]M_j(y_i-y_{i-1}) = M_2(y_2 - y_1) + M_4(y_4 - y_3)가 되겠지요.

...근데 이제 와서 보니 M_i≥0이라는 암묵적인 가정 하에 증명을 하고 있었네요.
그런데 f<0이 된다면 M_i<0이 될 수도 있을 텐데...
죄송합니다. 제가 쓴 부분 잘 정리해서 다시 질문 올려주시겠어요?

3. 제가 생각하는 것은 '딱히 논할 이유가 없다'입니다.
어차피 중요한 것은 '기껏해야 N-1개이니 N보다 작게 되어 증명에서의 부등식이 성립'한다는 것뿐이니까요.
이주근
19-04-04 21:44  
2.
강의에서 I라는 집합은 각 소구간들 중에서 P_0 에들어가는 원소를 포함하는 소구간들의 index를 모아놓은 집합이라고 했습니당 ㅠ 그리고 나머지 index들의 집합이 J인 것이구용
즉,  I={i|x_k∈(y_(i-1), y_i)}인것이죵...
이주근
19-04-05 00:54  
잠자기 전에 번뜩해서 적어봐용 ㅎㅎ P_0 U P_K =P_1이라고 하면
U(f,P_1)-∫[0~1]f <ε가 되고 U(f,P_1)에서  P_k의 원소를 포함하는 부분은 ∑[i∈I]M_i(y_i-y_{i-1}) 보다 작으니까 ε보다 작고  따라서  ε보다 작은 그 부분을 a라고두면 ∑[j∈J]M_i(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1]f <ε-a <ε 가되긴하는데용...
이렇게해도 M_i>0라는 조건이 쓰이기는 하네용... 퇴근후에 올려보겠습니당


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