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해석학 28강 질문입니다

이주근 6 51 2019-04-05 22:09

  http://hiredu.co.kr/gnu/bbs/board.php?bo_table=lec_qna&wr_id=7889에서 양영완선생님께 질문을 하면서 대화를 주고받다가 의문이 생겨서 다시 질문올립니다.

1시간28분 10초 즈음 2002년 기출문제 풀때용.. P가 P_0를 포함하면 0≦U(f,P) - ∫[0~1]f <ε임을 이용하면 ∑[J∈j]M_j(y_j-y_{j-1})<ε임을 알 수 있다고 하셨는데요.   

P_0 U P_K =P_1이라고하면 U(f,P_1)-∫[0~1]f <ε가 되고 U(f,P_1)에서  P_k의 원소를 포함하는 부분은 ∑[i∈I]M_i(y_i-y_{i-1}) 보다 작으니까 ε보다 작고  따라서   ε보다 작은 그 부분을 a라고두면 ∑[j∈J]M_i(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1]f <ε-a <ε 가되긴하는데용...

이렇게해서 된다고해도  M_i>0라는 조건들을 가정한 상태에서 한것이잖아요? M_i>0이라는 조건이 없는데 어떻게 한것이죠?

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구준모
19-04-06 12:06  
아, 위에서 M 을 f 의 한 상계라고 했는데 M 을 |f| 의 한 상계라고 두어야 합니다.
그럼 |∑[j∈J]M_i(y_j-y_{j-1})| ≤ ∑[j∈J] M·(y_j-y_{j-1}) ≤ ε 이고 ∑[j∈J]M_i(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1] < ε 이니 둘의 합은 2ε 보다 작겠지요.
이주근
19-04-06 15:02  
감사합니다. 선생님 그런데 ∑[j∈J]M_j(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1] < ε임을 보이기 위해서는 그래도 M_i가 양수라는 말이 있어야하는 것아닌가여 ?
제가 위에서 한 것처럼 P_0 U P_K =P_1이라고하면 U(f,P_1)-∫[0~1]f <ε가 되고  (U(f,P_1)-∫[0~1]f <ε라는 식은 P_0를 포함하는 분할에서 가능하기때문에 P_0를 P_k에 Union해준 것입니다.)  U(f,P_1)에서  P_0의 원소를 포함하는 부분은 ∑[i∈I]M_i(y_i-y_{i-1}) 보다 작으니까 ε보다 작고  따라서  ε보다 작은 그 부분을 a라고두면 ∑[j∈J]M_i(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1]f <ε-a <ε 로 두려면 사실상 a가 양수라는 조건이 있어야하는데 그러기위해선 M_i>0라는 말이 필요한 것아닌가요?
혹시  ∑[i=1~k]f(y_i)(1/k) - ∫[0~1] ≤U(f,P_k)- ∫[0~1] ≤ U( l f l,P_k)- ∫[0~1] 로 둔 상태에서
 U( l f l,P_k)- ∫[0~1] =∑[i∈I]M_i(y_i-y_{i-1})+∑[j∈J]M_j(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1]f  라고 하고 계산하는 것인가요? M_i와 m_i들은 l f l의 각 구간에서의 sup과 inf인 것이고요? 이런 맥락이라면 비슷하게 할 수 있을 거같긴한데...ㅠㅠ
구준모
19-04-07 12:51  
아.. 말씀하신 것이 맞습니다. 제가 은연중에 M_i 들이 양수라고 가정하고 증명을 했네요.
이 증명을 제가 의도한대로 하려면 우리가 Lemma 를 증명할 때 했던  argument 즉, 어떤 분할 P  가 있을 때, U(f,P)-U(f,P')<e 이 되는 P 를 포함하는 더 큰 분할 P' 이 존재한다는 것을 보여줘야 합니다. 그것을 이용해야만 이 방향대로 증명이 가능합니다.

일반적으로 두 상합 혹은 하합의 차이를 작게 만드는 방법은 크게 두가지가 있는데 상합 혹은 하합의 차이에 등장하는 유한개 구간들의 총합을 임의로 작게 만들어서 보이는 방법이 있고 다른 하나는 함수값의 차이를 임의로 작게 만들어서 보이는 방법이 있습니다.

f 가 리만적분가능한 것을 이용하는 풀이는 본질적으로 유한개 구간들의 길이의 합을 임의로 작게 만드는 trick 이라고 볼 수 있습니다.

하지만 문제에 주어진 f 가 연속함수라는 사실을 이용하면 이 문제는 함수값들의 차이를 임의로 작게 만드는 방법으로도 풀 수가 있는데, 그 풀이가 이 문제를 출제한 출제자가 의도한 풀이라고 생각합니다. 두번째 trick 을 이용한 풀이는 나중에 2015년 기출 문제 풀이에서 등장하니 그 때 한번 눈여겨 보시기 바랍니다.

강의는 제가 수정하도록 하겠습니다. 꼼꼼히 강의를 들으시고 오류를 지적해 주셔서 정말 감사합니다.^^
이주근
19-04-07 13:57  
넹! 수정 올라오면 참고하겠습니다 감사합니다.!
제가  "∑[i=1~k]f(y_i)(1/k) - ∫[0~1] ≤U(f,P_k)- ∫[0~1] ≤ U( l f l,P_k)- ∫[0~1] 로 둔 상태에서
 U( l f l,P_k)- ∫[0~1] =∑[i∈I]M_i(y_i-y_{i-1})+∑[j∈J]M_j(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1]f  라고 하고 계산하는 것인가요? M_i와 m_i들은 l f l의 각 구간에서의 sup과 inf인 것이고요? 이런 맥락이라면 비슷하게 할 수 있을 거같긴한데...ㅠㅠ"라고 했잖아용,,, 이 말은 틀린 것인가요?
구준모
19-04-08 00:49  
네. 그 풀이는 잘못 되었는데 왜냐하면 뒤에 있는 ‘∑[j∈J]M_j(y_j-y_{j-1})- ∫[0~1]f ‘ 를 임의로 작게 만들수 없기 때문입니다.  ∫[0~1] |f | 가 아니라  ∫[0~1]f  로 되어 있으니까요.

그리고 제가 정정할 풀이는 그냥 수업시간에 증명한 Lemma의 증명을 거의 그대로 가져다 쓰는 것이라서 뭔가 새로운 내용이 있는 것이 아닙니다^^
이주근
19-04-08 09:24  
감사합니다.


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