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해석학 31강 보기 31.7 질문입니다.

이주근 10 53 2019-04-06 20:47

1.

40분 20초 즈음에 보시면 δㅡ>0으로 보내시잖아요? 그런데 P_δ는 P[a,b]의 원소인데 δ를 0으로 보내면 P_δ는 고정된 분할이 아닌데 이런 것은 별 문제가 안되는건가요?

그리고 만약 시험을 칠때도 δㅡ>0 이라는 표기를 써도 무방한가요?

2.

 42분 45초 즈음부터 보시면 a가  좌연속이라면 f가 우연속이어야하고 a가 우연속이면 f는 좌연속이여야한다고 하셨는데요,

그것은 보기 31.7에나오는 a에 국한되서 말씀하신 것 맞죠? 임의의 단조증가함수a에 대해 말씀하신 것은 아닌거죠?


3.

43분 정도즈음에 보시면 f가 c에서 우연속이 아니면 f가 리-스가 되지않을 수 있다고 하셨는데여, 우연속이아니라도 되는 경우는 존재하겠죠?


0
양영완
19-04-07 19:58  
1. (1) 뭐... 엄밀하게 쓰자면 f가 c에서 우연속임을 이용해
임의의 ε>0에 대해서 f(c)의 ε/2-근방 안에 sup{f(t)|c≤t≤c+δ}와 inf{f(t)|c≤t≤c+δ}가 둘 다 들어올 수 있도록 δ를 잘 설정해주면 U(f, P, α)-L(f, P, α)<ε가 되겠지요??
(2) P_δ에 대해서는 존재성만 보이면 될 뿐입니다.
(3) 시험문제가 무엇을 묻느냐에 따라 달라질 것입니다.
엄밀한 ε-δ 논법에 대해 묻는 문제라면 엄밀하게 논증을 해야겠고, 중간에 들어가는 정도라면 이정도는 넘어가도 되겠지요.
(물론.... RS 적분 자체가 시험에 나올 일이 거의 없다고 봅니다만....;;;)

2. 유한개의 불연속점을 가지고 그 점에서 좌연속인 함수이면 다 해당됩니다.
왜냐면 그 함수는 연속함수와 불연속점에서의 jump가 일어나는 함수의 합으로 쓸 수 있기 때문이죠.
예를 들어 F(x)를 0≤x≤1에서는 x, 1≤x<2에서는 x+1, 2≤x≤3에서는 x+3라고 정의하고
α_c (x)를 보기 31.7의 α(x)로 정의하면(c의 위치를 나누기 위해 일부러 정의를 나누었습니다.)
F(x)=x+α_1(x)+2α_2(x)라고 쓸 수 있으니까요.
그리고 α_c(x)를 이용했을 때 RS-적분 가능함은 이미 증명했기 때문에, 그것으로부터 F(x)를 이용한 RS-적분도 존재합니다.

3. 위와 같은 이유로, 유한개의 불연속점을 가지고 그 점에서 우연속이 아닌 함수이면 다 해당됩니다.
이주근
19-04-07 20:39  
감사합니다.
2.
a를 강의에서 나온 것같은 형태가 아닌 예를들어 0이하일 때는  x  0초과일 때는 x^2+1과 같은 형태면 안되는 것이겠죠? 상수함수 같은 형태만 될 것같아서요,

3.
제가 잘못 질문한 것 같습니다 ㅠ  그러니까... 강의에서 좌연속 우연속 번갈아서 나와야한다고 했는데 좌좌 우우 이런식으로 나와도 가능한 경우는 존재하겠죠?
양영완
19-04-07 22:08  
2. 됩니다.
g(x)를 x≤0일 때는 x, x>0일때는 x^2으로 정의하면 f(x)=g(x)+α_1(x) 이고 g(x)는 연속함수가 됩니다.

3번은 아직 가능한 경우를 찾지 못했습니다. ^^;;;
이주근
19-04-08 00:14  
감사합니다. 선생님 ㅠㅠ 제가 문제를 제대로 이해를 못한건지 모르겠는데 전에 말씀해주신
" F(x)를 0≤x≤1에서는 x, 1≤x<2에서는 x+1, 2≤x≤3에서는 x+3라고 정의하고
α_c (x)를 보기 31.7의 α(x)로 정의하면(c의 위치를 나누기 위해 일부러 정의를 나누었습니다.)
F(x)=x+α_1(x)+2α_2(x)라고 쓸 수 있으니까요. "라는 말에서 F(x)=x+α_1(x)+2α_2(x)라는 말과 "g(x)를 x≤0일 때는 x, x>0일때는 x^2으로 정의하면 f(x)=g(x)+α_1(x) 이고 g(x)는 연속함수가 됩니다. "에서  f(x)=g(x)+α_1(x) 이고 g(x)는 연속함수가 된다라는 말 뜻이 이해가 잘안되용 ㅜ표기가 잘 이해가 안되는것같아용 ㅠㅠ 조금만 풀어서 써주실 수 있으신가용 ㅠㅠ 번거롭게해드려 죄송합니다.
양영완
19-04-08 00:59  
답글 달았습니다.
제가 댓글에서 조금 오타를 냈는데요,

첫번째는 F(x)를 0≤x≤1에서는 x, 1<x≤2에서는 x+1, 2<x≤3에서는 x+3이어야 하고요.
(근데 답글에 그림을 그리고 나서 보니 예시가 좀 다르네요 허허허...이 예시는 직접 해보세요 ㅎㅎ)

두번째는 F(x)=g(x)+α_0(x) 가 되어야 합니다.

조금 틀린 부분도 아마 답글을 보면 이해가 되실 겁니다.
이주근
19-04-08 09:22  
감사합니당.
선생님 말씀은 이해를 제대로 한건지는 모르겠지만...첫번째에 나오는 F(x)를 그런식으로 나타내면 a_k(x)라는 식들은 jump가 일어나는 곳 말고는 a_k(x_i)-a_k(x_{i-1})들이 0이 될 것이지만 x라는 식이 있어서 x_i-x_{i-1}이 0이 안되기때문에 어떤 점에서의 좌함수에 대해 우함수가 RS적분 가능하다라는 말은 힘든 것아닌가용?
양영완
19-04-08 10:24  
중요한 것은 주어진 함수를 연속함수와 jump 함수의 합으로 나타내는 것입니다.

예를 들어 첫번째 경우 dF(x)=dx+dα_1(x)+2dα_2(x) 라고 할 수 있겠지요.
dx의 경우 리만적분의 경우와 같으니 말할 것도 없지요.

두번째 경우 일부러 g(x)를 저렇게 잡은 것도 연속함수가 되도록 잡은 것입니다.
그리고 dF(x)=dg(x)+dα_0(x)이지요.
이주근
19-04-08 12:02  
두번짼 그러면 g(x)에대해서 리스적분 가능해야지 F(x) 에대해서 리스적분이 가능해지는 것이겠네요...?ㅠ
그럼  g(x)에 대해 리스적분 불가능할 수 있으니까 모든 좌연속인 함수에 대해서 우함수가 리스적분 가능하다는 것은 말이 안되는것아닌가여? ㅠ
양영완
19-04-08 19:04  
음... 그러고보니 좀 더 강한 조건을 넣어야겠군요.

F(x)=F_c(x)+F_d(x)로 분해했을 때 (F_c는 연속함수, F_d는 α_i들의 일차결합. 이 분해에 대한 존재성 증명은 생략할게요 ^^;;)

주어진 함수 f(x)가 F_c - 적분가능해야 한다는 조건이 들어가야겠군요.
이주근
19-04-08 19:44  
감사합니다!!♡


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