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해석학 32강 정리 32.1 질문입니다.

이주근 4 36 2019-04-07 20:52

3분 20초 즈음부터 보시면∑[i=1~n]fa'(s_i)(x_i-x_{i-1)=S(fa',P,id)라고 하셨잖아요? (강의에선 id대신 x라고 쓰셨습니당)

그리고나서는 S(fa',P,id) ㅡ>∫_a^b f(x)da(x)라고 하셨는데요, 그리고나서 >∫_a^b f(x)da(x)이  S(fa',P,id)의 수렴하는 값이다 라고 하셨습니다. 이것은  S(fa',P,id) 에서 t_i가 s_i인 특별한 경우에만 되는 것인데 임의의 t_i에 대해 다 만족해야한다는 것처럼 쓰셨는데 어떻게 그럴 수 있죠? 그래야 fa'가 리만적분 가능하다는 것을 보일 수 있는 것이잖아용 ? ㅠ 

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양영완
19-04-08 00:27  
음. 일단 한마디 드리자면 아주 정확한 지적입니다!

t_i는 (x_(i-1), x_i) 사이의 임의의 값이고, s_i는 (x_(i-1), x_i) 사이에서 평균값 정리를 만족하는 특정한 값이지요.
그러니 사실 't_i는 임의의 값이고 s_i는 특정한 값이니 그냥 t_i=s_i라고 두자!'라고 한 것은 사실은 엄밀한 설명은 아닙니다.
뭐... 직관적으로 결국에는 P를 엄청 세분할할 테니까 t_i나 s_i나 그게 그게 되긴 하겠지요.

그런데 이것에 대한 엄밀한 증명은 사실 귀찮고 지겹거든요.
그래서 그냥 넘어가시길 권해드립니다만, 혹시나 그래도 궁금하시면 아마 해석개론 책을 찾아보시면 답이 나올 겁니다.
(참고로 제가 가진 다른 책에서는 증명이 조금 다른 것 같은데요, 32.1 전체 증명이 lemma를 3개 깔고 그에 대한 증명까지 합쳐서 4페이지 정도 되더라고요... ㅎㅎㅎ)
이주근
19-04-08 00:48  
감사합니다. "결국에는 P를 엄청 세분할할 테니까 t_i나 s_i나 그게 그게 되긴 하겠지요"에서 fa'이 연속이면 P를 엄청 세밀하게 분할하면 t_i나 s_i나 신경안써도 될것같긴한데...ㅋㅋㅋ 연속이 아니네용 
선생님 말씀대로 이건 기회될때 알아보겠습니당!
정리 32.3에서 13분15초즈음 나오는 나오는 부분도 비슷한 경우인거져?
양영완
19-04-08 22:51  
네, 맞습니다.
이주근
19-04-09 09:16  
감사합니당


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