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해석학 35강 질문입니다.

이주근 2 31 2019-04-10 16:23

1.

1시간 26분 즈음부터 보시면 (iii)와 {x∈[0,1] l g(x)>0}= U[i=1~∞] J_{i,4}가 필요충분조건이라고 했는데요...

 {x∈[0,1] l g(x)>0}= U[i=1~∞] J_{i,4}라는 것은 알겠는데 이것이 왜 (iii)와의 필요충분조건인지를 모르겠습니당.

 {x∈[0,1] l g(x)>0} 와 U[i=1~∞] J_{i,4} 자체만으로  {x∈[0,1] l g(x)>0}= U[i=1~∞] J_{i,4}임을 보인 것 같은데...그런식이면 충분조건임은 알겠는데 필요조건임은 모르겠습니다..

2.

57분 즈음에 property of Fat cantor set에 대한 설명중 1번에서 C와 C_4가 일대일 대응이 되기때문에 비가산집합이라고 하셨는데요, 일대일 대응임을 어떻게 알 수 있죠? C와 [0,1]이 일대일 대응임을 보이듯이 C_4와 [0,1]이 일대일 대응임을 보여서 C와 C_4가 일대일 대응임을 보이는 식으로 하면 되는건가요? 뭔가 감각적으로는 일대일 대응이 될 것같은데 확실한 이유가 궁금해서용.




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구준모
19-04-12 01:03  
1. 전 => 를 의도한건데 제가 실수로 칠판엔 <=> 라고 썼네요. 저의 실수입니다.

2. 아시다시피 C_a 는 끝점들의 교집합 이잖아요, 따라서 3보다 큰 두 실수 a,b 에 대해서 I_{n,a}와 I_{n,b} 의 끝점들을 대응시켜 주는 함수를 f_n 이라고 하면 f_n 은 분명 일대일 함수일 것이고 f_n 은 n보다 더 작은 i 에 대해 f_{i} 의 정의역을 더 확장시켜준 확장함수니까 {f_n} 들의 극한함수를 f 라고 하면 f 가 C_a 와 C_b 사이의 일대일 대응이 되겠지요.

여기서 극한함수 f 는 다음과 같이 정의됩니다.

임의의 x∈C_a 에 대해 x 가 I_{n,a} 의 끝점 중 하나가 되는 어떤 적당한 자연수 n 이 존재하는데 그랬을 때 f(x) 을 f_n(x) 로 정의합니다. 그럼 f 는 잘 정의되고 f 가 정의되면 f 가 일대일 대응임은 어렵지 않게 보일 수 있습니다.

결국 f 를 정확하게 정의하려면 f_n 들의 정의가 수식으로 정의되어야 하는데, I_{n,a} 들의 끝점을 수식으로 표현하기가 쉽지 않으니 이 정도로 이해하시면 될 것 같습니다.
이주근
19-04-12 10:11  
감사합니당♡


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