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해석학 36강 2011년도 기출문제 질문입니다.

이주근 2 28 2019-04-11 20:57

1.

1시간 8분 20초 즈음에 보시면 S_n이 [-1+e,1-e]에서 고르게 수렴이라고 하셨는데 S'_n이라고 해야하는 것이죠?

2.

문제에 정리3을 정리 36.7을 할 때 보이셨다고 하셨는데요, 정리 36,7을 보면x가 R초과라면 53분 15초 정도에 나온 R-e_1이 수렴반경에 들어가기때문에 ∑[n=N~무한대]M_n이 수렴함을 보였잖아요?이러한 이유로  ∑a_nx^n의 수렴반경은 ∑na_nx^{n-1}의 수렴 반경 안에 들어가는 것은 알겠는데 같다는 것은 모르겠습니다.

WS판정법을 쓰려면 ∑na_nx^{n-1}에서도 x가 R반경에 들어가야하는 것은 알겠는데 WS판정법이 아닌 다른 방법으로하면 수렴반경이 다를 수 있잖아요?


3.

1시간 13분 30초즈음에 1과 2는 비교적 심플하게 풀수 있는데 3의 증명이 길어진다고 하셨는데, 2와 3은 S'이 고르게 수렴하는 것을 보이것과 정리 36.4F를 보이는 것으로 같은 번거로움이 있는 것 아닌가요?

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구준모
19-04-12 14:29  
1. 네. 맞습니다. S_n 이 아니라 S_n' 입니다.

2. ∑na_nx^{n-1}의 수렴 반경이  ∑a_nx^n의 수렴반경 R 안에 들어가는 것은 다음과 같이 보일 수 있습니다. 만일 |x0|>R 에 대해, ∑na_n{x_0}^{n-1} 가 수렴한다고 하겠습니다.  그럼 R<|x1|<|x0| 인 실수 x1 에 대해 ∑na_n{x_1}^{n-1} 는 절대수렴할것입니다. 그럼 1/|x_1| ∑|a_n{x_1}^{n}| =  ∑|a_n{x_1}^{n-1}| ≤ ∑|na_n{x_1}^{n-1}|<∞ 이므로  ∑ a_n{x_1}^{n} 은 수렴하는데 이는 R 이  ∑a_nx^n 의 수렴반경이라는데 모순이죠. 따라서 |x|>R 인 x 에 대해 ∑a_nx^n 는 발산합니다.

3. 2는 정리 3을 안쓰고도 WS 판정법만을 이용해서 비교적 간단하게 증명할 수 있습니다. 제가 수업시간에 S_n' 이 고르게 수렴함을 보인 것과 비슷하게 하면 됩니다.
이주근
19-04-12 17:55  
감사합니당


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