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켤레근 정리, 인수분해 관련 질문입니다.

양영완 5 29 2019-04-15 12:14

(사실 질문을 복소해석학으로 해야 할지 대수학으로 해야 할지 고민하다 ... 복소해석학에 넣었습니다. ㅎㅎ)

안녕하세요, 선생님. 저는 요새 학교에서 고등학생 1,2학년들을 가르치고 있습니다.

이제 1학년 학생들이 삼차방정식, 사차방정식의 풀이를 눈앞에 두고 있습니다.

(그러고보니 3,4차방정식의 일반적인 근의 공식을 눈앞에 두고 그냥 넘어간 것이 계속 눈에 밟히네요... 언젠가 대수학 책을 보고 꼭 정복하길... ㅋㅋ)


어쨌든 교과서에서 제가 파일로 올린 문제를 마주쳤는데요.

이 문제의 교과서적 풀이법은 왼쪽에 ①이라고 써놓은, 1-i를 방정식에 대입해 복소수가 서로 같을 조건을 이용해 연립방정식을 이용해 풀어내는 것입니다.


그런데 저희는 복소해석학 시간에 배웠듯 f(x)∈R[x]-R(상수다항식이 아닌 실계수다항식)에 대해,

f(x)=0의 한 근이 α∈C(복소수)일 때, α^-(켤레복소수)도 f(x)=0의 근이 됨을 압니다. (켤레근 정리)

그리고 인수정리에 의해 x-α, x-(α^-) 가 f(x)의 인수가 됨을 압니다.

α∈R(실수)이면 x-α = x-(α^-) ∈ R[x]가 f(x)의 인수가 될 것이고,

α∈C-R(허수)이면 (x-α)(x-(α^-)) = x^2-(α+α^-)x+αα^- ∈ R[x]가 f(x)의 인수가 되겠지요.

(그것을 이용한 방법이 ② 풀이법입니다.)


그러다 의문이 들었습니다.

우리는 대수학의 기본정리에 의해, 임의의 f(x)∈C[x]-C는 C 안에서 근을 가짐을 압니다.

그리고 이로 인해 f(x)가 C[x] 위에서 split하다는 것도 알지요.


그러면 위와 같은 논리를 적용한다면 '임의의 실계수 삼차다항식은 하나의 허근을 가지는 경우 R[x] 위에서 (일차)×(이차)로 인수분해된다고 할 수 있겠는가?'

또한 '임의의 실계수 사차다항식은 하나의 허근을 가지는 경우 R[x] 위에서 (이차)×(이차)로 인수분해된다고 할 수 있겠는가?(남은 이차가 실근을 가지면 또 인수분해 가능하고...)'

더 나아가, '∀f(x)∈R[x]-R은 R[x] 위에서 일차, 이차다항식의 곱으로 인수분해할 수 있겠는가?'라는 의문이 드네요.


(사실 고등학교 과정에 나오는 3, 4차방정식 문제들은 모두 인수분해(그마저도 절대다수는 Q[x]위에서!)를 기준으로 삼고 만들어진 문제들이라, 경험을 기준으로 직관적인 답을 찾을 수 없을 것 같습니다. 3, 4차다항식이 C[x]위에서야 당연히 인수분해 가능하지만, R[x] 위에서는 인수분해가 안되는 어떤 특별한 3,4차방정식이 있어서 근의 공식을 이용할 수밖에 없지 않을까 고민했는데, 위의 결론이 참이라면 그런 특별한 방정식은 존재하지 않는 것이겠지요? 만약 이것이 참이라면, 3, 4차방정식의 일반적인 근의 공식이라는 것이 사실 그렇게까지 필요하지는 않겠다 하는 생각이 들기도 하네요.)

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구준모
19-04-16 11:38  
양영완 회원님 안녕하세요. 어떻게 지내시는지 궁금했는데, 학교에서 학생들을 가르치고 계시군요^^

'∀f(x)∈R[x]-R은 R[x] 위에서 일차, 이차다항식의 곱으로 인수분해할 수 있겠는가?' 질문해 주셨는데, 이에 대한 답은 'Yes' 입니다.
왜냐하면 R 위에서 정의된 기약다항식의 차수는 1 또는 2 라는 것을 제가 대수학 강의 Cor 61.4 에서 설명해 드렸습니다.
양영완
19-04-16 13:24  
아, Cor 61.4와 R[x]가 UFD인 것으로부터 이것을 이끌어낼 수 있겠군요.

그렇다면 R[x]에서 인수분해가 안되는 특별한 삼차 이상 다항식은 없다는 뜻이 되는데요.
(삼차)=(일차)×(이차), (사차)=(이차)×(이차)로 어떻게든 인수분해를 할 수 있다는 뜻이기도 하고요.
(최악의 전개를 생각한다면 전부 미정계수로 놓고 연립방정식을 만들어내거나 항등식으로 보아 x에 값들을 대입해서 풀면 되겠죠... ㅎㅎ;;;)

그러면 대체 3차, 4차방정식의 근의 공식은 무슨 뜻이 있는 건가요?
5차 이상의 경우 대수적인 근의 공식이 없다는 것도 분명 대수학 시간에 배워서 아는데,
위 방법처럼 인수분해 해놓고 2차방정식의 근의 공식을 이용하면 되지 않나요?
구준모
19-04-16 13:39  
우리가 아는 것은 3차, 4차 방정식을 1차, 2차 방정식의 곱으로 인수분해 할 수 있다는 것만 알지 구체적으로 어떻게 인수분해 하는지는 모르잖아요? 그래서 근의 공식이 의미가 있습니다.
양영완
19-04-16 13:46  
아, 그렇군요.
그러면 5차 이상인 경우는 어떻게 되나요?

어떻게든 1차, 2차로 인수분해시켜 놓고 나서 각각의 방정식에 대한 근의 공식을 이용해 풀 수 있기 때문에(구체적으로 construct할 수 없다 하더라도 existence에 대한 것은 증명되었으니) solvable by radical이라고 할 수 있는것 아닌가 하는 생각이 드는데요. 사실 그것이 아님은 분명 증명했지요. 그러면 이런 주장은 어디가 잘못된 것일까요?
구준모
19-04-16 14:32  
좋은 질문인데요, 5차 방정식의 근의 공식이 없다는 사실로부터 5차 방정식을 1차, 2차 방정식의 곱으로 canonical 하게 분해하는 알고리즘은 없다라고 이해하면 됩니다. 만약 그런 canonical 한 인수분해가 있다면 2차 방정식의 근의 공식을 이용해 모든 5차 방정식의 근을 canonical 하게 구할 수 있을테니까요. 즉, 5차 이상의 방정식은 방정식마다 그것의 고유한 인수분해를 찾아서 근을 구할 수 있을 뿐 standard 한 분해법이 있는 것은 아닙니다. 3,4차는 그런 standard 한 인수 분해법이 있는거구요.


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